这里,所有的映射都是用分片线性映射来逼近的。 注意,这里参数化映射并不唯一,这会带来隐空间概率密度的变化,后面我们会对此进行详细讨论。 我们知道曲面到平面区域的微分同胚有无穷多个,这些微分同胚构成的空间是无穷多维,所以很难控制;从曲面到平面的黎曼映照也有无穷多个,但是所有的黎曼映照构成的空间只有三维。 所以维数非常有限,只需要在曲面边界上固定三个点,映射就可以被唯一固定。 很多时候你可能想要找一个典范映射,第一行的保角变换就是比较好的选择;如果你想研究更为广义的微分同胚,用下方的。 共形几何涵盖的范围很广,其中拟共形变换包括了所有可能的微分同胚。 例三:我们考察所有的rgb彩色图像所构成的空间,记为背景空间。 空间中所有人脸的图像所构成的子集记为S,我们来分析一下人脸图像集合是否符合流形分布定律。
LLE、 ISOMAP、 LE 和 LTSA 都属于流形学习研究的代表性文献,在流形学习领域具有划时代的意义,但这几种算法都是非线性特征提取方法,从高维空间到低维空间没有明确的映射关系,无法直接处理新样本。 我们假设背景空间是三维欧氏空间,流形是米勒佛曲面,如图12所示。 我们在弥勒佛表面上稠密采样,然后训练一个自动编码器,得到编码映射和解码映射。 编码映射将曲面映射到隐空间即二维欧氏空间,如图13所示;解码映射将隐空间表示映射回背景空间,得到重建流形,如图14所示。 我们采用ReLU作为激活函数,编码解码映射为分片线性映射。 编码映射将背景空间分解为很多胞腔,在每个胞腔内编码映射为线性映射,图13右帧画出了背景空间的胞腔分解。 我们从图中可以看到重建流形比较精确地逼近了原始的输入流形,几乎保留了所有的几何细节。
作为对比我们看一下,把同一张脸映射到同一个平面上。 我们在可以在平面圆盘上放许多无穷小圆,然后拉回来看它们在曲面上的形状。 上面一行是保角变换,保持了小圆的形状不变。 下面是一般的微分同胚,它把平面上的无穷小圆,变成了曲面上的无穷小椭圆。
我们可以把它计算一个保角变换,把左图变成右图,映射之后的拓扑发生巨大变化。 左边的镜框本来是一个封闭曲线,变换后的镜框变成了一条开放的螺旋线。 本来镜框外部的世界是真实的世界,镜框内部的世界是虚拟的世界。 经过变换以后,真实的世界和虚拟的世界混为一谈。 很多惊恐片、科幻片都是基于这个原则:将现实和梦境混为一谈。
我们把这套理论从纯理论变成算法,有算法之后就可以用在很多工程领域、图形学、计算机视觉、几何建模、网络、3D打印,当然也包括医学图像中。 sildenafil 20 mg tablet price 方法论的灵活性 传统方法依赖于严格的因果关系,往往用偏微分方程来表达自然规律。 很多相关性可以用概率分布来表述,用深度学习可以习得。